1
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En matemática y computación , el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler , es un procedimiento de integración numéricapara resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, el método de Euler es la primera aproximación de solución. Consideremos un sistema de N variables y1, que dependen de t. Las ecuaciones diferenciales podrán expresarse de la siguiente forma:
yi = fi(y1, y2,…, yN, t) para i=1,2,…, N.
Escogiendo un paso de t pequeño ? se puede usar la aproximación de Euler, con la cual, para calcular los valores de yi en el tiempo t+ ? tse necesitan conocer en el tiempo t. La fórmula sería: yi(t+ ? t) = yi(t) + ? tfi(y1, y2,…, yN,t) para i = 1,2,…N . Entonces para averiguar los valores de yi a cualquier t basta conocer sus valores iniciales (condiciones iníciales a t=0 y resolviendo iterativamente con un paso ? thasta llegar a ese valor de t
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler"
PREGUNTA:
Teniendo en cuenta el texto anterior entonces, el método de Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver:
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Question2
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En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se utilizan cuando: no se dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la derivada, y las expresiones de diferencias hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha del punto deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias centrales son más precisas que cualquiera de las otras dos
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Question3
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De acuerdo a la lectura anterior responda:
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica, porque se basan en: la estrategia de reemplazar una función fácil o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más dificil de integrar
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica, porque se basan en: la estrategia de reemplazar una función fácil o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más dificil de integrar
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Question4
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En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se utilizan cuando: no se dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la derivada, y las expresiones de diferencias hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha del punto deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias centrales son más precisas que cualquiera de las otras dos
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Question5
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTRODUCCIÓN
En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes:
- Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.
- Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.
- Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.
En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados.
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar.
La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante.
Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.
Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho ?X y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la figura.
Fig. 1
Llamando a las ordenadas Yi (i = 1, 2, 3,..., n+1), las áreas de los trapecios son:
El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:
Sustituyendo las ecuaciones. (1) en esta expresión se obtiene:
La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:
En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos.
PREGUNTA:
La integral 
es igual a
es igual a
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Question6
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Deacuerdo a la lectura : El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. correcponde al concepto
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En el Ejemplo 1 de la lectura anterior, para aproximar la integral 
con el método de Romberg se usan los segmentos de longitud:
con el método de Romberg se usan los segmentos de longitud:
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Question2
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"Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones"
De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.
De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.
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Question3
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Diferenciación e Integración Numérica
Diferenciación Numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.
Formulas para la primera derivada : La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en términos del límite:
De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:
(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:
Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:
donde ?x esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de Dhf(x) tenemos que:
Esta fórmula nos dice que Dhf(x) aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).
Ejemplo 1 : Tomamos f(x)=x9 y queremos aproximar f’(x) cuyo valor exacto es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores ? f’(x) – Dhf(1) ? Como función de "h" en escala logarítmica.
Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor crítico "hmin" luego del cual los errores aumentan según la "h" disminuye. ¿Contradice esto el resultado de arriba de O(h) del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la convergencia si la aritmética es exacta y se dice que es un resultado asintótico. La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se hacen significativos para "h" pequeño y pueden afectar cualquier formula numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de aproximabilidad digamos O(h2) es preferible a una O(h) ya que los errores (teóricos) tienden a cero más rápido y así la "h" no se tiene que hacerse tan pequeña reduciendo así los efectos de los errores por la aritmética finita.
El método de arriba usando la expansión de Taylor se puede utilizar para obtener formulas para aproximar la derivada con un grado de aproximabilidad más alto que uno. Ilustramos esto para la obtención de una formula O(h2). Si en lugar de llegar hasta términos de orden dos, expandimos hasta términos de orden tres en la expansión de Taylor, obtenemos las formulas:
Si restamos estas dos ecuaciones, despejamos para f'(x), y usamos el teorema del valor medio aplicado a f'''(x) obtenemos la formula:
donde
y ? X esta entre [x-h, x+h]. Tenemos pues que la formula Dhnf(x) tiene un error proporcional a O(h2).
Ejemplo 2 : Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar f'(x) con el ejemplo de f(x) = x9 para f'(1). Los resultados los presentamos en forma tabulada para distintos valores de h:
h
|
Dhf(1)
|
? f ‘ (1) - Dhf(1) ?
|
Dhn f(1)
|
? f ‘ (1) – Dhn f(1) ?
|
0.1
|
13.5795
|
4.57948
|
9.85264
|
0.852636
|
0.05
|
11.0266
|
2.02656
|
9.21079
|
0.210788
|
0.025
|
9.95452
|
0.954519
|
9.05255
|
0.0525492
|
0.0125
|
9.46337
|
0.463374
|
9.01313
|
0.0131281
|
Este ejemplo ilustra lo superior de la formula Dhnf(x). Note que cada vez que h se divide entre dos, el error en la formula Dhnf(x) se divide por dos (aproximadamente) mientras que en la formula Dhnf(x) se divide (aproximadamente) por cuatro (¿por qué?).
En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x=2h, x=3h, etc. Por ejemplo la expansión
nos da una formula de orden cuatro para f'(x). Es importante observar que mientras más alto el grado de aproximabilidad de la formula, más suave tiene que ser la función para que dicha aproximación sea valida. Por ejemplo esta formula de orden cuatro requiere que la función tenga cinco derivadas continuas en el intervalo en cuestión mientras que la formula de orden dos requiere únicamente tres derivadas continuas.
Formulas para la segunda derivada : El proceso de arriba se puede usar para obtener formulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x). Usamos este proceso para obtener una formula para la segunda derivada. Usando el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:
Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:
donde
Y ? x esta entre [x-h, x+h]. Tenemos aquí una formula de orden dos para f"(x).
Ejemplo 3 : Examinamos la formula de arriba en el caso f(x) = x9 y para aproximar f ‘‘(1)=72. Tenemos los resultados: ? f ‘’ (1) - Dh(2) f (1) ?
h
|
Dh(2)f(1)
|
? f ‘’(1) - Dh(2)f(1) ?
|
0.1
|
74.5368
|
2.53682
|
0.05
|
72.6311
|
0.63105
|
0.025
|
72.1576
|
0.157566
|
0.0125
|
72.0394
|
0.0393791
|
Nuevamente se puede ver el factor de cuatro en el error, característico de la convergencia de orden dos.
En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x+2h, x+3h, etc. Por ejemplo la expansión
nos da una formula de orden cuatro para f"(x).
Tomado de mate.uprh.edu/~pnm/notas4061/numdif /numdif.htm.
PREGUNTA:
La fórmula de orden cuatro para f'(x) requiere que la función tenga:
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Question4
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REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO
Suponemos que tenemos los datos:
donde xmes el punto medio entre a y b.
En este caso se tiene que:
donde f2(x) es el polinomio de interpolación para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de Lagrange.
Así, tenemos que:
Si denotamos 
Simplificando términos:
Vemos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por (x- ?)(x-?)
Así, calculamos la siguiente integral por partes:
Sea:
por lo tanto,
Usamos esta fórmula para calcular la integral de cada uno de los tres términos de f2(x).
Debido al factor 1/3h se le conoce como la regla de Simpson de un tercio.
En la práctica, sustituimos el valor de 
Ejemplo 1 .Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral:
Solución .
Aplicamos la fórmula directamente, con los siguientes datos:
Aplicamos la fórmula directamente, con los siguientes datos:
Por lo tanto, tenemos que:
Ejemplo 2 .
Usar la regla de Simpson de 1/3, para aproximar la siguiente integral:
Usar la regla de Simpson de 1/3, para aproximar la siguiente integral:
Solución .
Igual que en el ejercicio anterior, sustituimos datos adecuadamente:
Igual que en el ejercicio anterior, sustituimos datos adecuadamente:
Al igual que con la regla del trapecio, podemos extender la regla de Simpson de 1/3, si
subdividimos el intervalo [?,b] en n subintervalos de la misma longitud
Sea P= {x0, x1,…, xn } la partición que se forma al hacer la subdivisión, y denotemos por xM ?[xi-1 , xi] el punto medio en cada subintervalo.
Aplicamos primero propiedades básicas de la integral definida:
Ahora, aplicamos la regla de Simpson de 1/3, en cada una de las integrales de arriba:
Sustituimos
Ejemplo 1 .
Aproximar la siguiente integral, aplicando la regla de Simpson de 1/3 y subdividiendo en 5 intervalos.
Aproximar la siguiente integral, aplicando la regla de Simpson de 1/3 y subdividiendo en 5 intervalos.
Solución .
En este caso, tenemos que n=5, y la partición que se genera es:
En este caso, tenemos que n=5, y la partición que se genera es:
P = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}
demás, los puntos medios de cada subintervalo son:
PM = {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}
Por lo tanto, sustituimos los datos en la fórmula para obtener:
Nótese que esta aproximación ya es exacta hasta el cuarto decimal!
Ejemplo 2 .
Aproximar la siguiente integral, utilizando la regla de Simpson de 1/3 y subdividiendo en 4 intervalos.
Aproximar la siguiente integral, utilizando la regla de Simpson de 1/3 y subdividiendo en 4 intervalos.
Solución .
En este caso, tenemos que n=4, y la partición que se genera es:
En este caso, tenemos que n=4, y la partición que se genera es:
P = {2, 2.5, 3, 3.5, 4}
Además, los puntos medios de cada subintervalo son:
PM = {2.25, 2.75, 3.25, 3.75}
Sustituyendo todos estos datos en la fórmula obtenemos la siguiente aproximación:
PREGUNTA:
Según en el método de Simpson de 1/3, el punto xm que se encuentra entre a y b se conoce como:
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Question5
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Que valor de x, hacen que se cumpla la igualdad.
2x – 3 – 9 = x
2x – 3 – 9 = x
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Question6
Puntos: 1
"Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones"
De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.
De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.
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Question7
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Método Multipasos.
Los métodos de Euler y Runge-Kutta descritos anteriormente son ejemplos de métodos de un paso. En ellos, se calcula cada valor sucesivoyn+1 solo con base en la información acerca del valor inmediato anterior yn. Por otra parte, un método de varios pasos o continuo utiliza valores de varios pasos calculados con anterioridad para obtener el valor de yn+1. Existen numerosas formulas aplicables en la formulación de soluciones de ecuaciones diferenciales. Como no se pretende describir el extenso campo de los procedimientos numéricos únicamente se presentara uno de estos métodos.
Método de Adams-Basforth/Adams-Moulton de Cuarto Orden.
Este es uno de los métodos más populares. En este método, la predicción es la fórmula de Adams-Basforth:
para n?3.
Luego de lo anterior se sustituye el valor de 
Obsérvese que la formula (1) requiere que se conozca los valores de y0, y1, y2 y y3 para obtener el y4 . Por supuesto, que el valor de y0es la condición inicial dada. Como el error local de truncamiento en el método de Adams-Basforth/Adams-Moulton es O (h5), los valores de y1, y2 y y3 se suelen calcular con un método que tenga la misma propiedad de error, como la formula de Runge-Kutta de cuarto orden.
Ejemplo.
Use el método Adams-Basforth/Adams-Moulton con h=0,2 para llegar a una aproximación a y (0,8) de la solución de:
y’ = x+y-1, y(0)=1
Solución:
Dado el tamaño de paso es h=0,2, entonces y4 aproximara y (0,8). Para comenzar aplicamos el método de Runge-Kutta, con x0 = 1, y0 = 1 y h = 0,2 con lo cual,
y1= 1,02140000, y2 = 1,09181796, y3 = 1,22210646.
Ahora definimos x0 = 0; x1 = 0,2; x2 = 0,4; x3 = 0,6 y f(x, y) = x + y -1, y obtenemos
Con los valores anteriores, la predicción, ecuación (1) da:
Para usar la corrección, ecuación (2), necesitamos primero:
Si comprobamos el valor exacto de y (0,8) se obtiene que y (0,8) = 1,42554093
Ventajas y Desventajas de los métodos multipasos.
En la selección de un método para resolver numéricamente una ecuación diferencial intervienen muchos aspectos. Los métodos usados de un paso (en especial el de Runge-Kutta) suelen usarse por su exactitud y facilidad de programación; sin embargo, una de las mayores desventajas es que el lado derecho de la ecuación diferencial debe evaluarse muchas en cada etapa. Por ejemplo, para el método de Runge-Kutta de cuarto orden se necesitan cuatro evaluaciones de función en cada paso. Por otra parte, si se han calculado y guardado las evaluaciones de función en la etapa anterior, con un método de multipasos solo se necesita una sola evaluación de función por paso. Esto puede originar grandes ahorros de tiempo y costo
Otro asunto que interviene en los métodos de multipasos es la cantidad de veces que se debe repetir la de Adams-Moulton en cada paso. Cada que se usa el corrector ocurre otra evaluación de función, con lo cual aumenta la precisión al costo de perder una de las ventajas del método de varios pasos. En la práctica, el corrector solo se calcula una vez, y si el valor de yn+1 cambia mucho, se reinicia el problema con un menor paso.
PREGUNTA:
En el método multipasos la predicción es la fórmula de:
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Question8
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Dada la ecuación diferencial
y(1) = 1.5
Usa el método de Euler para aproximar y(1.3) tomando h=0.1 en cada paso del proceso iterativo
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Question9
Puntos: 1
El método de Runge-Kutta de hecho está basado en una aplicación de:
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Question10
Puntos: 1
"Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones"
De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.
De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.
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1
Puntos: 1
Cual de los siguientes métodos está basado en una aplicación de los polinomios de Taylor.
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Question2
Puntos: 1
Cuáles de los siguientes métodos son de varios pasos:
1. Método de Euler
2. Método de Adams-Basforth
3. Método de Runge Kutta
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Question3
Puntos: 1
Con que método se necesita una sola evaluación de función por paso
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Question4
Puntos: 1
la fórmula de Adams-Basforth es uno de los métodos:
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Question5
Puntos: 1
La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de:
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Question6
Puntos: 1
El método que se basa en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado es:
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Question7
Puntos: 1
Uno de los siguientes métodos se utilizados en ecuaciones diferenciales:
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Question8
Puntos: 1
La integral 
da como resultado la aproximacion:
da como resultado la aproximacion:
(sugerencia, utlice la regla de Simpson 1/3, o resulevala aplicando los conocimientos de integración del calculo)
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Question9
Puntos: 1
El método de Euler es útil para la solución de:
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Question10
Puntos: 1
1. La integral 
es igual a
es igual a
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Question11
Puntos: 1
Cuáles de los siguientes métodos son de varios pasos:
1. Método de Euler
2. Método de Adams-Basforth
3. Método de Runge Kutta
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Question12
Puntos: 1
1. La fórmula de cuadratura ![\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\left [f(a)+f(b) \right ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_scZX5LLHR-kfHicSCDpx7kh_n67XFymAUp30AlZhDljxZRiINIVE8M47Sy0u5hrJec37WenxlBOssNvcmMx9nfT1nWTODQ_WmMVXl_ZPcFbjDjVkZOsKTWEDSpym6Kek2VOFbuh1_Tw7Bxlo1m6srpKpZ52T8pK6rV603Lu2GN=s0-d "\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\left [f(a)+f(b) \right ]")
se conoce como:
se conoce como:
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Question13
Puntos: 1
No es solo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s).
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Question14
Puntos: 1
Teniendo en cuenta los conocimientos de Diferenciación, entonces el valor numérico de f'(-1,05) si f(x) = 3x2-x es:
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Question15
Puntos: 1
Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial llamada tambien método de las rectas tangentes
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